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平面向量的“平移”解法浅析—杨建萍

减小字体 增大字体 作者:杨建萍  来源:本站整理  发布时间:2011-12-07 08:55:44

平面向量的“平移”解法浅析

杨 建 萍

“平移向量”作为新教材中的新增内容,这部分内容既可单独命题,又可在综合题中与其他内容结合命题。同时,利用向量解决问题也是一种重要的解题思想方法。而近几年涉及考查平面向量的问题往往并不复杂,如果在这方面失分的话,就太可惜了。

下面就平面响向量中的平移问题的解法作一总结。

  一、点的平移

由于平移公式中的三个量,即平移前、后的坐标,平移向量的坐标,这三个量,知道其中任意的二个,就可以求出另外一个,即“知二求一”。

例1.将点A按向量a平移到点A ′,解答下列问题

(1)若A′(-2,1),a=(3,2),求A点的坐标。

(2)若A′(3,4),A(5,-8),求向量a的坐标。

解:(1)设A(x,y),则,

    ∴A(-5,-1)

(3)设向量a=(x,y),则

    ∴向量a=(7,7)

  二、图的平移

由于图是由点组成的,所以移图就是移点,这类题只要涉及以下几个题型。

题型一:已知函数解析式,将其图象按已知向量平移,求平移后的函数解析式。

例2:将函数y=2x的图象L按a=(2,3) 平移得到L′平移,求L′的函数解析式。

解法一:设p(x,y)为L上的任一点,它在L′上的对应点为p′

(x′,y′)

由平移公式得,x

将它们代入y=2x中,得到y′-3=2(x′-2)

∴L′的函数解析式为y-3=2(x-2)。即y=2x-1。

解法二:由图象变换可知:要得到L′的图象可将L的图象向右平移2个单位得到函数y=2(x-2),同时向下平移3个单位,就得到L′的函数解析式为y=2x-1。

小结:解这类题的方法有:

方法一:(通法)函数图象F平移到F′的解析式的求法步骤:

(1)F上任意一点P(x,y)的坐标及F′上相对应的P′的坐标(x′,y′);

(2)利用平移公式找出x′,y′与x,y之间的关系式;

(3)将x,y(用x′,y′表示)代入F的解析式:

(4)改写,即按照习惯将x′,y′换成x,y。

可将这个步骤总结为:一设,二找,三代,四换。

方法二:(使用结论)对于函数y=f(x)的图象F按向量a=(h,k)平移后,得到的图象F′对应的解析式y=f(x-h)+k.

因为,当h>0时,表示图象向右平移h个单位;

   当h<0时,表示图象向左平移个单位;

   当k>0时,表示图象向上平移k个单位;

   当k<0时,表示图象向下平移个单位。

特别地,若为选择题,可利用特殊值法求几解。

题型二:由已知向量平移后的函数解析式,求原函数解析式。

例2:把某个函数的图象按向量a=(3,-2)平移后得到的图象的对应解析式为y=log2(x+3)+2,则原来函数的解析式为     

解法一:(用逆向思维法)

  平移后的函数解析式y=log2(x+3)+2,若按向量a=(-3,2)平移后,即可得到原函数解析式,则原函数解析式为:y=log2[(x+3)+3]+2+2=log2(x+6)+4.

解法二:(用通法)

设p(x,y)为原函数上的任一点,p′(x′,y′)为平移后函数图象上与P对应的点,则  而这里p′(x′,y′)为y=log2(x+3)+2上任一点

∴y′=log2(x′+3)+2,将平移公式代入得

y-2=log2(x+3+3)+2

∴即y=log2(x+6)+4

∴则原函数解析式为y=log2(x+6)+4.

小结:解这类题的方法有:

方法一:(通法)基本同题型一的通法。

方法二:(逆向思维法)可将平移后的解析式看作平移前的解析式,其平移向量变为原平移向量的相反向量,再借助题型一的方法二即可完成。

题型三:已知平移前、后函数的解析式,求平移向量。

例3.抛物线y=x2+4x+7的图象按向量a平移后的解析式为y=x2,求平移向量a

解法一:(待定系数法)

a=(h,k),M(x,y)是函数y=x2+4x+7上任一点,平移后函数y=x2图象上的对应点

M′(x′,y′)为,由平移公式得代入y′=x′2

得y=(x+h)2+K与y=x2+4x+7=(x+2)2+3是同一函数

∴h=2,k=3

∴故所求的向量为a=(2,-3).

解法二:(配凑法:即将y=f(x)配凑为y-k=f(x-h)的形式,再求(h,k).)

   由y=x2+4x+7=(x+2)2+3变形为y-3=(x+2)2

,则y′=x′2

即将函数y=x2+4x+7的图象按向量a=(2,-3)平移后的解析式为y=x2

解法三:(配方法:即可利用图形上的特殊点求平面向量)

a=(h,k),由y=x2+4x+7可知其顶点坐标为(-2,3)

平移后的函数y=x2的顶点为(0,0),由平移公式得

  即

故所求向量为a=(2,-3).

小结:解这类题的方法有

方法一:(待定系数法)即利用平移公式,代入移前(或移后)的解析式,再根据所得函数与平移后(或前)的函数为同一函数,求出h,k.

方法二:(配凑法)即将y=f(x)配凑为y-k=f(x-h)的形式,再求(h,k).

方法三:(配方法)特别是二次函数的有关问题,通过配方,找出平移前后图象的顶点坐标,从而求得平移的向量。

  三、向量的

  平面内的任意向量按照某一向量平移后的坐标不变,这是由于一个向量平移后所得向量与原向量相等,而相等的向量它们的坐标相同。所以平面内的任意向量按某一向量平移后的坐标不变。

例5:已知A(1,2),B(4,2),则向量AB按向量(-1,3)平移后得到的向量是(  )

A(0,5)  B(3,0)  C(-4,2)  D(2,3)

解:AB=(4,2)-(1,2)=(3,0)

向量平移后仍和原向量是相等向量.

∴AB按向量(-1,3)平移后仍是其本身.

故选B.

总之,要解决平面向量中的平移问题,首先要搞清楚是点关于向量的平移、函数图象关于向量的平移还是向量关于向量的平移,然后再灵活选用解题方法,切记不可盲目地套用公式。

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